Relatori

Lo studio di problemi della Meccanica Celeste richiede una scelta accurata dei modelli che descrivono la dinamica degli oggetti che si vuole studiare, teorie matematiche appropriate per l'analisi della natura regolare o caotica dei moti, adeguate applicazioni a problemi interessanti. In questo seminario comincerò presentando i principali modelli della Meccanica Celeste che descrivono la dinamica orbitale e di rotazione. Passerò in rassegna il contenuto della teoria delle perturbazioni e della teoria KAM, il cui sviluppo è stato ampiamente motivato da problemi della Meccanica Celeste. Tali teorie sono state applicate a numerosi problemi, tra cui descriverò le applicazioni alla stabilità di modelli del sistema solare e all'analisi della dinamica dei detriti spaziali.

The study of problems of Celestial Mechanics needs an accurate choice of the models describing the dynamics of the objects one wants to study, dedicated theories to investigate the stable and chaotic character of the motions, careful applications to interesting problems. In this talk I will start by presenting the main orbital and rotational models used in Celestial Mechanics. I will review the content of perturbation theory and KAM theory, which have been strongly motivated by problems of Celestial Mechanics. They have been applied to several problems, among which I will describe applications to the stability of Solar system models and to the analysis of the dynamics of space debris.

Discuterò se sia possibile una teoria degli stati stazionari fuori equilibrio inquadrati in insiemi statistici equivalenti descriventi gli stessi fenomeni ma governati da equazioni diverse, reversibili o irreversibili, in analogia con la teoria degli insiemi statisitici dell'equilibrio quali l'insieme canonico e microcanonico. Il caso paradigmatico delle equazioni di Navier Stokes in 2 o 3 dimensioni  sarà illustrato come esempio di varie idee che nascono in modo naturale dal recente interesse sui sistemi caotici.

I discuss whether a theory of nonequilibrium stationary states governed by different equations but describing the same phenomena is possible. The proposal is an analogy with the equilibrium ensembles, e.g. canonical and microcanonical , and investigates the possibility of equivalent description by irreversible or reversible evolution equations. The paradigmatic case of Navier-Stokes fluids in 2 or 3 dimensions is presented  as an example of several ideas naturally arising from the recent interest on chaotic motions.

Uno degli obiettivi principali dei sistemi dinamici è quello di capire il comportamento a lungo termine delle orbite. Questo richiede lo studio degli attrattori del sistema. L'obiettivo del seminario è di discutere gli attrattori per le mappe di Hénon e di mostrare la coesistenza di più attrattori nello spazio delle fasi. Più in dettaglio, ci sono mappe di Hénon che hanno simultaneamente un numero finito di attrattori periodici e un attrattore "strano". Inoltre nella famiglia di Hénon si verifica il fenomeno di Newhouse: esistono valori dei parametri per i quali la dinamica possiede un numero infinito di attrattori periodici. Il fenomeno di Newhouse verrà dimostrato anche in una famiglia più generale di mappe in dimensione più alta con una tangente omoclina. Dimostreremo infine che il fenomeno di Newhouse è stabile: in ogni famiglia c'è un insieme di mappe con infiniti attrattori periodici. Questi dipendono in modo liscio dai parametri, così da formare una laminazione di codimensione 2.

One of the aims of dynamics is to understand the long term behavior of orbits. This involves the study of the attractors of the system. We focus on the attractors for Hénon maps and we prove the coexistence of multiple attractors. There are Hénon maps which exhibit simultaneously finitely many periodic attractors and a strange attractor. Moreover the Newhouse phenomena holds in the Hénon family, i.e. there are maps with infinitely many periodic attractors, sinks with arbitrarily large period. Furthermore, we prove that the Newhouse phenomena also holds for general families of high dimensional maps which unfold a homoclinic tangency and that it is stable. More in details, in every unfolding there is a set of maps with infinitely many sinks which form a codimension two lamination. The sinks move smoothly, creating a lamination.

I concetti di tunneling e confinement in meccanica classica e quantistica sono ben noti: il fatto che una pallina lanciata contro un muro rimbalzi mentre le onde riescono ad attraversarlo è entrato a far parte del senso comune. In questo seminario, dopo aver rivisitato i concetti di confinamento e tunnelling, discuteremo un classe di geometrie per cui il senso comune non funziona poi così bene.

The concepts of tunneling and confinement in classical and quantum mechanics are well established: everybody knows that a ball will not teleport itself on the other side of the wall but a quantum wave can slowly leak through it. In this talk, after revisiting the concepts of confinement and tunneling, we will show that there is a big class of geometries for which the usual common sense does not really apply.

La nozione di entropia topologica, derivante dalla teoria dell'informazione, è uno strumento fondamentale per comprendere la complessità di un sistema dinamico. Quando il sistema dinamico varia in una famiglia, sorge naturalmente la domanda: come varia l'entropia al variare del parametro? Recentemente, W. Thurston ha introdotto queste idee in dinamica complessa definendo l’ "entropia centrale" di un polinomio quadratico come l'entropia di un certo sottoinsieme dell'insieme di Julia (l'albero di Hubbard). Come vedremo, l'entropia centrale è una quantita’ puramente topologica/combinatoria che coglie comunque la ricchezza della struttura frattale dell'insieme set di Mandelbrot. In particolare, vedremo come la variazione di tale funzione si relaziona alla geometria dell'insieme Mandelbrot, e dimostreremo che l'entropia dei polinomi quadratici dipende in modo continuo dall'angolo esterno, rispondendo a una domanda di Thurston.

The notion of topological entropy, arising from information theory, is a fundamental tool to understand the complexity of a dynamical system. When the dynamical system varies in a family, the natural question arises of how the entropy changes with the parameter. Recently, W. Thurston has introduced these ideas in the context of complex dynamics by defining the "core entropy" of a quadratic polynomials as the entropy of a certain forward-invariant set of the Julia set (the Hubbard tree). As we shall see, the core entropy is a purely topological/combinatorial quantity which nonetheless captures the richness of the fractal structure of the Mandelbrot set. In particular, we shall see how to relate the variation of such a function to the geometry of the Mandelbrot set. We will also prove that the core entropy of quadratic polynomials varies continuously as a function of the external angle, answering a question of Thurston.