Giulio Tiozzo

La nozione di entropia topologica, derivante dalla teoria dell'informazione, è uno strumento fondamentale per comprendere la complessità di un sistema dinamico. Quando il sistema dinamico varia in una famiglia, sorge naturalmente la domanda: come varia l'entropia al variare del parametro? Recentemente, W. Thurston ha introdotto queste idee in dinamica complessa definendo l’ "entropia centrale" di un polinomio quadratico come l'entropia di un certo sottoinsieme dell'insieme di Julia (l'albero di Hubbard). Come vedremo, l'entropia centrale è una quantita’ puramente topologica/combinatoria che coglie comunque la ricchezza della struttura frattale dell'insieme set di Mandelbrot. In particolare, vedremo come la variazione di tale funzione si relaziona alla geometria dell'insieme Mandelbrot, e dimostreremo che l'entropia dei polinomi quadratici dipende in modo continuo dall'angolo esterno, rispondendo a una domanda di Thurston.

The notion of topological entropy, arising from information theory, is a fundamental tool to understand the complexity of a dynamical system. When the dynamical system varies in a family, the natural question arises of how the entropy changes with the parameter. Recently, W. Thurston has introduced these ideas in the context of complex dynamics by defining the "core entropy" of a quadratic polynomials as the entropy of a certain forward-invariant set of the Julia set (the Hubbard tree). As we shall see, the core entropy is a purely topological/combinatorial quantity which nonetheless captures the richness of the fractal structure of the Mandelbrot set. In particular, we shall see how to relate the variation of such a function to the geometry of the Mandelbrot set. We will also prove that the core entropy of quadratic polynomials varies continuously as a function of the external angle, answering a question of Thurston.